Conejos, espirales y obras de arte. El número de Fibonacci
¿Quién no quiere tener un pequeño conejito como mascota en casa? y ya puestos...¿Por qué no tener un precioso par de conejitos, un macho y una hembra?. Quizá porque ese precioso par de conejitos, al crecer, darían lugar a muchos pequeños pares de comilones conejitos...
Bien, pero si realmente quisiéramos criar conejos, ¿cuántas parejas de conejitos tendríamos al cabo de los meses, si en un mes una pareja adulta tiene una parejita de conejos bebés y cada bebé tarda dos meses en hacerse adulto?
Pues veamos...
La conclusión de todo esto (aparte de que realmente debes estar muy seguro de lo que haces si quieres tener conejos en casa), es que el número de parejas de conejos de cada generación depende del número de parejas de conejos de la generación anterior. En concreto el número de parejas de conejos de cada generación es la suma del número de parejas de conejos de las dos generaciones previas (trece es ocho más cinco, ocho es cinco más tres...y así sucesivamente...)
De modo que tenemos una preciosa secuencia de números en la que cada número es la suma de los dos anteriores (la serie realmente comienza en el tercer número, que tiene dos anteriores). Esta serie de números quedaría así:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...
Esta sucesión de números era muy conocida en la India, en Europa fue introducida por Leonardo Pisano Bigollo, un joven matemático de Pisa que en sus viajes conoció la matemática de oriente y la publicó en Europa en 1202 en el libro Liber Abaci (un libro muy vendido entre los matemáticos de la época).
El padre de nuestro matemático Leonardo era conocido como Bonacci (que significaba que bondadoso), de modo que su hijo fue conocido como “el hijo del bondadoso”, o Fibonacci, y la serie de números que acabamos de conocer se llama “serie de Fibonacci”.
Esta serie de números aparece constantemente en la naturaleza, el número de pétalos de flores como las orquídeas, el de las ramas de un árbol, la flora de la alcachofa y el número de espirales que forman las semillas de muchas flores y frutos son algunos de los muchos ejemplos de la presencia de los números de esta sucesión.
En particular, esta serie de números permite a la naturaleza crear espirales. Esto es así porque las espirales se basan en la propiedad de similitud en la escala, que consiste en la tendencia de mantener la forma a pesar de crecer en tamaño. Esta tendencia no la siguen todos los organismos, por ejemplo, la escala del cuerpo de los bebés humanos tiene una gran cabeza en comparación con miembros más cortos, al contrario que la escala del cuerpo de las personas adultas. Pero mirando la concha de los antiguos ammonites o los actuales nautilus y caracoles vemos que su patrón de crecimiento conserva la similitud, de manera que un nautilus muy anciano y muy grande habría crecido creando nuevas cámaras en su concha dando sucesivas vueltas en torno al origen de su espiral. Seguiría conservando la forma del nautilus de nuestra fotografía, pero en una escala mayor.
Foto cortesía de Mariajo Gamero Tinoco
https://www.flickr.com/photos/36863483@N04/
Y es en la creación de este tipo de espirales donde aparece la serie de Fibonacci. Podemos construir una espiral conectando las esquinas opuestas de cuadrados de áreas iguales a los valores de la sucesión de Fibonacci. Partamos de dos cuadrados de área 1 cm2…
Espiral de Fibonacci
Pero esta serie de números también esconde un secreto matemático. Vamos a desvelarlo dividiendo cada número entre el anterior…veamos…
Bien…parece que estas divisiones van tendiendo al número 1.618034…Este valor tiene su nombre propio en la historia de las matemáticas y del arte, y el nombre no es nada modesto, se llama “número áureo”, “número de oro”, “proporción áurea”, “divina proporción” y se representa con la letra griega “f” (Phi, se lee “fi”) en honor Fidias, el escultor más famoso de la Grecia antigua.
Este número tiene dos propiedades matemáticas curiosas:
Primera:
Si restáis 1 al numero f tenemos 0.618034. Este número es exactamente el inverso de f, de manera que 1/1.618034 también es 0.618034
Segunda:
Si sumáis 1 al número f tenemos 2.618034. Este número es exactamente el cuadrado de f, de manera que 1.618034*1.618034 también es 2.618034
El arte ha empleado nuestro número áureo para generar proporción y equilibrio en estructuras arquitectónicas, música y pintura. Así, un rectángulo de proporciones 1 (el lado más corto) y 1.618 (el lado más largo) resulta natural y bien proporcionado.
Como ejemplos de empleo de las matemáticas en el arte, en las Meninas (1656), Velázquez consigue armonía y belleza gracias a la sucesión de Fibonacci.
La misma armonía que encontramos en el rostro de La Gioconda (L. da Vinci 1517)
De modo que desde la Grecia antigua hasta nuestros días, pasando por el Renacimiento, la estética basada en la sucesión de Fibonacci nos ha generado placer artístico y matemático.